고3 기하 「이차곡선」·「공간도형과 공간좌표」·「벡터」 단원에서 시험에 나오는 유형으로 문제 10개를 골랐어요. 문제마다 정답 보기를 누르면 정답과 풀이가 나와요.
포물선은 한 정점(초점)과 한 직선(준선)에 이르는 거리가 같은 점들의 모임이고, 타원은 두 초점까지의 거리의 합이 일정, 쌍곡선은 거리의 차가 일정한 점들의 모임입니다.
포물선 y²=4px는 초점 (p, 0), 준선 x=-p이고, 타원 x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)의 초점은 (±c, 0), c²=a²-b²이며 장축의 길이는 2a입니다.
쌍곡선 x²/a²-y²/b²=1은 초점 (±c, 0), c²=a²+b², 주축의 길이 2a, 점근선 y=±(ba)x이고 두 초점까지의 거리의 차는 2a입니다.
기울기가 m인 접선은 포물선 y²=4px에서 y=mx+pm이고, 곡선 위의 점 (x₁, y₁)에서의 접선은 포물선 y₁y=2p(x+x₁), 타원 x₁xa²+y₁yb²=1처럼 식에서 x², y²을 x₁x, y₁y로 바꿔 구해요.
공간좌표에서 두 점 사이의 거리는 √((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²)이고, 중심 (a, b, c), 반지름 r인 구는 (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=r²입니다.
정사영의 넓이는 S′=S cosθ(θ는 두 평면이 이루는 각)이고, 점과 직선 사이의 거리는 삼수선 정리로 수선의 발을 잡아 직각삼각형으로 구해요.
벡터 a=(a₁, a₂), b=(b₁, b₂)의 내적은 a·b=|a||b|cosθ=a₁b₁+a₂b₂이며, 수직이면 a·b=0, 평행이면 a=kb입니다.
예: 타원 x²/25+y²/9=1에서 c²=25-9=16이므로 c=4이고, 초점은 (±4, 0), 장축의 길이는 10입니다. 자주 하는 실수는 타원과 쌍곡선의 c² 관계식(a²-b², a²+b²)을 서로 바꿔 쓰는 것이니 꼭 구분하세요.
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