극값은 f'(x)의 부호가 바뀌는 점에서 생기므로 f'(a)=0만으로는 부족하고, 그 앞뒤에서 부호가 바뀌는지 꼭 확인해야 해요.
정적분은 ∫ₐᵇ f(x)dx=F(b)-F(a)이고, 넓이는 f(x)의 부호가 바뀌는 곳에서 구간을 나누어 |f(x)|를 적분하며, 정적분으로 정의된 함수는 ddx ∫ₐˣ f(t)dt=f(x) 입니다.
예: ∫₀² (3x²+2x)dx = [x³+x²]₀² = 8+4 = 12 입니다.
오늘의 미적분Ⅰ 문제 10개
오늘(2026.11.07) 문제예요. 이 페이지의 문제는 하루에 한 번 새 숫자로 바뀌어요.
1기본∞/∞ 꼴 극한
limx→-∞ (-x2 + 5)/(4x3 + 2x2 - 4x + 5)의 값을 구하시오. (발산하면 ∞ 또는 -∞로 답하시오.)
정답 0
풀이 ① 분자의 차수는 2, 분모의 차수는 3이므로 두 차수를 비교하여 극한을 구합니다. ② 분모의 최고차항 4x3을 분자·분모에 각각 나누면 분모는 4에 수렴하고, 분자는 차수가 더 낮아 0에 수렴합니다. ③ 극한값은 0÷(4)이므로 0입니다. ④ 따라서 답은 0입니다.
2기본연속이 되는 함숫값
함수 f(x) = (x2 - 16)/(x + 4) (x≠-4) f(-4) = k 가 x=-4에서 연속이 되도록 하는 상수 k의 값을 구하시오.
정답 -8
풀이 ① 함수가 x=-4에서 연속이려면 lim(x→-4) f(x) = f(-4)가 성립해야 합니다. 분자에 x=-4를 그대로 대입하면 0이 되어 분모와 분자가 모두 0이므로, 0이 답이 아니라 약분해서 극한값을 구해야 합니다. ② 분자를 인수분해하면 x2 - 16 = (x + 4)(x - 4)입니다. ③ x≠-4이므로 약분하면 (x + 4)(x - 4)/(x + 4) = x - 4이고, lim(x→-4) (x - 4) = -4 - 4 = -8입니다. ④ 따라서 k = f(-4) = -8이므로 답은 -8입니다.
3기본곡선 위의 점에서 접선
곡선 y=-x3 - 4x2 - 4x - 4 위의 점 (-2, -4)에서의 접선의 방정식을 구하시오.
정답 y=-4
풀이 ① 곡선 위의 점에서의 접선의 기울기는 미분계수 f'(a)이므로, f(x)=-x3 - 4x2 - 4x - 4를 미분하면 f'(x)=-3x2 - 8x - 4입니다. ② x=-2를 대입하면 기울기는 f'(-2)=0이고, f(-2)=-4는 접점의 y좌표일 뿐 기울기가 아닙니다. ③ 점 (-2, -4)를 지나고 기울기가 0인 직선이므로 y-f(a)=f'(a)(x-a)에서 y+4=0입니다. ④ 이를 y에 대해 정리하면 y=-4입니다. ⑤ 따라서 답은 y=-4입니다.
4기본좌극한·우극한과 극한값
함수 f(x)는 x < 3일 때 f(x) = -4x2 + 4x + 3, x ≥ 3일 때 f(x) = 5x + 1이다. limx→3- f(x) + limx→3+ f(x)의 값을 구하시오.
정답 -5
풀이 ① 좌극한 lim(x→3-) f(x)는 x가 3보다 작은 쪽에서 다가가므로 f(x) = -4x2 + 4x + 3을 사용하고, 다항함수의 극한은 x = 3을 대입한 값이므로 -21입니다. ② 우극한 lim(x→3+) f(x)는 x가 3보다 큰 쪽에서 다가가므로 f(x) = 5x + 1을 사용하고, x = 3을 대입하면 16입니다. ③ 극한값은 함숫값 f(3)가 아니라 가까이 다가갈 때의 값이므로, 두 값을 더하면 -21 + 16 = -5입니다. 따라서 답은 -5입니다.
5기본평균변화율
함수 f(x)=-2x2 - 2x에서 x의 값이 3에서 4까지 변할 때의 평균변화율을 구하시오.
정답 -16
풀이 ① 평균변화율은 x의 값이 a에서 b까지 변할 때 (f(b) - f(a)) ÷ (b - a)이므로 (f(4) - f(3)) ÷ (4 - 3)를 계산합니다. ② 함숫값을 구하면 f(3) = -24, f(4) = -40입니다. ③ 분자는 f(4) - f(3) = -40 - (-24) = -16, 분모는 4 - 3 = 1입니다. ④ 평균변화율은 -16 ÷ 1이므로 -16입니다. ⑤ 따라서 답은 -16입니다.
6기본0/0 꼴 극한(인수분해)
limx→2 (x2 + x - 6)/(x - 2)의 값을 구하시오.
정답 5
풀이 ① x=2를 대입하면 분자와 분모가 모두 0이 되어 00 꼴이므로, 분자를 인수분해해서 약분한 뒤 극한값을 구합니다. ② 분자를 인수분해하면 x2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3) 입니다. ③ x≠2일 때 약분하면 lim(x→2) (x - 2)(x + 3)/(x - 2) = lim(x→2) (x + 3) = 5 입니다. ④ 따라서 답은 5입니다.
7기본도함수와 한 점으로 함수 결정
함수 f(x)에 대하여 f'(x)=-3x2 + 4x이고 f(-1)=4일 때, f(3)의 값을 구하시오.
정답 -8
풀이 ① 부정적분의 정의에 따라 f(x)=∫(-3x2 + 4x)dx=-x3 + 2x2 + C (C는 적분상수)입니다. ② f(-1)=4를 대입하면 3 + C=4이므로 C=1입니다. ③ 따라서 f(x)=-x3 + 2x2 + 1입니다. ④ x=3을 대입하면 f(3)=-9 + 1=-8입니다. 따라서 답은 -8입니다.
8기본곱의 미분법
함수 f(x)=(2x)2에 대하여 f'(0)의 값을 구하시오.
정답 0
풀이 ① 합성함수의 미분법 {(ax+b)n}'=n(ax+b)n-1×a를 이용합니다. 이때 속미분 2를 반드시 곱합니다. ② f'(x)=2×(2x)×2입니다. ③ x=0일 때 2x의 값은 0이므로 f'(0)=2×0×2=0입니다. ④ 따라서 답은 0입니다.
9기본정적분의 성질
다음 정적분의 값을 구하시오. ∫-11 (-3x3 + x2 + 5)dx
정답323
풀이 ① 구간이 -1부터 1까지이므로 홀수차 항 -3x3 은 정적분이 0이 되어 사라지고, 짝수차 항 x2 + 5 만 남습니다. ② 짝수차 항은 y축 대칭이므로 ∫-11 (x2 + 5)dx = 2∫01 (x2 + 5)dx 입니다. ③ 2×[(13)x3 + 5x]01 = 2×163 = 323 입니다. 따라서 답은 323입니다.
10기본부정적분의 뜻
함수 f(x)에 대하여 ∫f(x)dx = -x3 + 6x + C (C는 적분상수)일 때, f(-2)의 값을 구하시오.
정답 -6
풀이 ① 부정적분의 뜻에 따라 ∫f(x)dx의 양변을 x로 미분하면 f(x)가 됩니다. ② f(x) = d/dx(-x3 + 6x + C) = -3x2 + 6 (적분상수 C를 미분하면 0) ③ f(-2) = (-3)×(-2)2 + 6 = -6 ④ 따라서 답은 -6입니다.
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