중심이 (a, b), 반지름이 r인 원의 방정식은 (x-a)² + (y-b)² = r² 이고, 원과 직선은 중심에서 직선까지의 거리 d와 r를 비교해 위치 관계를 판단해요.
점 (x, y)를 x축 방향으로 m, y축 방향으로 n만큼 평행이동하면 (x+m, y+n)이 되고, 도형의 방정식에서는 x 대신 x-m, y 대신 y-n을 대입합니다.
자주 하는 실수는 내분점 공식에서 m과 n의 위치를 바꿔 쓰는 것이니, 처음 점 A에는 n이, 나중 점 B에는 m이 곱해진다는 점을 꼭 확인하세요.
예: A(1, 2), B(7, 5)에서 AB를 1 : 2로 내분하는 점은 ((1·7+2·1)/3, (1·5+2·2)/3) = (3, 3)입니다.
오늘의 공통수학2 문제 10개
오늘(2026.11.06) 문제예요. 이 페이지의 문제는 하루에 한 번 새 숫자로 바뀌어요.
1기본점의 평행이동
점 A(2, 3)을 점 B(-1, 4)으로 옮기는 평행이동에 의하여 점 C(-1, 3)이 옮겨지는 점의 좌표를 구하시오.
정답 (-4, 4)
풀이 ① 점 A를 점 B로 옮기는 평행이동은 x좌표에 -1-2=-3, y좌표에 4-3=1을 더하는 이동이므로 (x, y) → (x+(-3), y+1)입니다. ② 점 C(-1, 3)의 x좌표는 -1+(-3)=-4입니다. ③ y좌표는 3+1=4입니다. ④ 따라서 답은 (-4, 4)입니다.
2기본두 점 사이의 거리
두 점 A(0, -4), B(-4, -5) 사이의 거리 AB를 구하시오.
정답 √17
풀이 ① 두 점 A(0, -4), B(-4, -5) 사이의 거리는 AB=√{(x2-x1)2+(y2-y1)2}입니다. ② 좌표의 차를 구하면 x2-x1=-4-0=-4, y2-y1=-5-(-4)=-1입니다. ③ 각각 제곱하여 더하면 AB2=(-4)2+(-1)2=16+1=17이므로 AB=√17입니다. ④ 17은 제곱수인 약수가 1뿐이므로 더 간단히 할 수 없어 AB=√17입니다. 따라서 답은 √17입니다.
3기본점의 대칭이동
점 P(-6, 7)를 직선 y=-x에 대하여 대칭이동한 점의 좌표를 구하시오.
정답 (-7, 6)
풀이 ① 점 P의 좌표는 (-6, 7)입니다. ② 직선 y=-x에 대한 대칭이동은 x좌표와 y좌표를 바꾸고 부호도 모두 바꾸므로 (x, y) → (-y, -x)입니다. ③ 점 (-6, 7)에 이를 적용하면 (-6, 7) → (-7, 6)입니다. ④ 따라서 답은 (-7, 6)입니다.
4기본합성함수의 식
두 함수 f(x)=-3x + 3, g(x)=2x2 + 2에 대하여 (f∘g)(x)를 구하시오.
정답 -6x2 - 3
풀이 ① 합성함수의 정의에 의해 (f∘g)(x)=f(g(x))이므로, f(x)의 x 자리에 g(x)=2x2 + 2를 대입합니다. ② (f∘g)(x)=f(g(x))=(-3)×(2x2 + 2) + (3)로 놓을 수 있습니다. ③ 분배법칙으로 전개하여 내림차순으로 정리하면 (f∘g)(x)=-6x2 - 3입니다. ④ 따라서 답은 -6x2 - 3입니다.
5기본거리 조건으로 좌표 구하기
두 점 A(-3, 4), B(a, 0)에 대하여 선분 AB의 길이가 5일 때, 실수 a의 값을 모두 구하시오.
정답 a=0 또는 a=-6
풀이 ① 두 점 사이의 거리 공식에 따라 AB=√((a+3)2+42)=5입니다. ② 양변을 제곱하면 (a+3)2+16=25이므로 (a+3)2=25-16=9입니다. ③ a+3=±3이므로 a=-3+3=0 또는 a=-3-3=-6입니다. 따라서 답은 a=0 또는 a=-6입니다.
6기본삼각형의 무게중심
세 점 A(2, 4), B(0, 5), C(1, -3)을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표를 구하시오.
정답 (1, 2)
풀이 ① 세 꼭짓점 A(2, 4), B(0, 5), C(1, -3)의 무게중심은 x좌표끼리, y좌표끼리 각각 더한 뒤 3으로 나눈 점이므로 G((x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3)입니다. ② x좌표는 (2+0+1)/3 = 33 = 1입니다. ③ y좌표는 (4+5+(-3))/3 = 63 = 2입니다. ④ 따라서 답은 (1, 2)입니다.
7기본좌표축에 접하는 원
두 좌표축에 모두 접하고 점 (6, 3)을 지나는 원의 방정식을 모두 구하시오.
정답 (x-3)²+(y-3)²=9 또는 (x-15)²+(y-15)²=225
풀이 ① 두 좌표축에 모두 접하는 원은 반지름을 r라 하면 중심이 (r, r)이고, 점 (6, 3)이 있는 사분면에 놓입니다. ② 이 점을 원의 방정식에 대입하면 (6-(r))2+(3-(r))2=r2이고, 정리하면 r2-18r+45=0입니다. ③ 근의 공식으로 r=9±√36=9±6이므로 r=3 또는 r=15입니다. ④ r=3일 때 (x-3)²+(y-3)²=9, r=15일 때 (x-15)²+(y-15)²=225입니다. ⑤ 따라서 답은 (x-3)²+(y-3)²=9 또는 (x-15)²+(y-15)²=225입니다.
8기본원소의 개수
두 집합 A={0, 1, ∅}, B={0, 1}에 대하여 n(A)+n(B)를 구하시오.
정답 5
풀이 ① 원소의 개수 n(A)는 집합 안에 들어 있는 원소를 세는 것이며, n(∅)=0, n({∅})=1, n({0})=1입니다. ② 집합 A={0, 1, ∅}의 원소는 3개이므로 n(A)=3입니다. ③ 집합 B={0, 1}의 원소는 2개이므로 n(B)=2입니다. ④ n(A)+n(B)=3+2=5입니다. 따라서 답은 5입니다.
9기본집합의 연산
전체집합 U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 14}의 두 부분집합 A, B가 A={3, 14}, B={4, 6, 11, 14}일 때, 다음을 원소나열법으로 나타내시오. A-B
정답 {3}
풀이 ① 조건을 원소나열법으로 바꾸면 U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 14}, A={3, 14}, B={4, 6, 11, 14}입니다. ② A-B는 A에 속하고 B에 속하지 않는 원소들의 집합이며, A-B=A∩Bᶜ입니다. ③ A={3, 14}에서 B={4, 6, 11, 14}에도 속하는 원소를 빼면 A-B={3}입니다. ④ 따라서 답은 {3}입니다.
10기본충분조건·필요조건 판별
x가 실수일 때, 두 조건 p: x>-2, q: |x|<4에 대하여 p는 q이기 위한 어떤 조건인지 구하시오. (충분조건, 필요조건, 필요충분조건, 아무 조건도 아니다 중 하나)
정답 아무 조건도 아니다
풀이 ① 조건 p: x>-2의 진리집합을 P, 조건 q: |x|<4의 진리집합을 Q라 하면, p⇒q가 참일 때 P⊂Q이고 이때 p는 q이기 위한 충분조건입니다. ② p⇒q를 확인하면 P에는 Q에 속하지 않는 원소가 있으므로 P⊄Q이고 p⇒q는 거짓입니다. ③ q⇒p를 확인하면 Q에는 P에 속하지 않는 원소가 있으므로 Q⊄P이고 q⇒p는 거짓입니다. ④ 정리하면 p⇒q는 거짓, q⇒p는 거짓이므로 아무 조건도 아니다입니다. ⑤ 따라서 답은 아무 조건도 아니다입니다.
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