고1 공통수학2 「명제」 단원에서 시험에 나오는 유형으로 문제 10개를 골랐어요. 문제마다 정답 보기를 누르면 정답과 풀이가 나와요.
명제 핵심 개념 정리
명제는 참 또는 거짓을 분명히 판별할 수 있는 문장이나 식이고, 조건은 변수의 값에 따라 참·거짓이 달라지는 문장이나 식입니다.
조건 p의 진리집합은 p를 참이 되게 하는 모든 원소의 집합이고, p의 부정 ~p의 진리집합은 P의 여집합 Pᶜ입니다.
'p이면 q이다'가 참일 때 p는 q이기 위한 충분조건, q는 p이기 위한 필요조건이며, 이는 진리집합 P ⊂ Q와 같은 뜻입니다.
'모든'의 부정은 '어떤 ~이 아니다', '어떤'의 부정은 '모든 ~이 아니다'이고, 'p 또는 q'의 부정은 '~p 그리고 ~q'입니다.
명제와 그 대우는 참·거짓이 항상 같으므로, 직접 증명이 어려우면 대우를 이용하고 p→q, q→r이 참이면 p→r도 참입니다(삼단논법).
a>0, b>0일 때 (a+b)/2 ≥ √(ab)이고 등호는 a=b일 때 성립하며, 코시-슈바르츠 부등식은 (a²+b²)(x²+y²) ≥ (ax+by)²입니다.
자주 하는 실수는 역(q→p)이 참이라고 착각하는 것이니, 화살표 방향과 포함 관계 P ⊂ Q의 방향을 꼭 확인하세요.
예: x>0일 때 x + 4x ≥ 2√(x·4x) = 2√4 = 4이고, 등호는 x = 4x, 즉 x = 2일 때 성립합니다.
오늘의 명제 문제 10개
오늘(2026.11.08) 문제예요. 이 페이지의 문제는 하루에 한 번 새 숫자로 바뀌어요.
1기본충분조건·필요조건 판별
x가 실수일 때, 두 조건 p: x>1, q: x>-4에 대하여 p는 q이기 위한 어떤 조건인지 구하시오. (충분조건, 필요조건, 필요충분조건, 아무 조건도 아니다 중 하나)
정답 충분조건
풀이 ① 조건 p: x>1의 진리집합을 P, 조건 q: x>-4의 진리집합을 Q라 하면, p⇒q가 참일 때 P⊂Q이고 이때 p는 q이기 위한 충분조건입니다. ② p⇒q를 확인하면 P의 모든 원소가 Q에 속하므로 P⊂Q이고 p⇒q는 참입니다. ③ q⇒p를 확인하면 Q에는 P에 속하지 않는 원소가 있으므로 Q⊄P이고 q⇒p는 거짓입니다. ④ 정리하면 p⇒q는 참, q⇒p는 거짓이므로 충분조건입니다. ⑤ 따라서 답은 충분조건입니다.
2기본조건과 명제의 부정
명제 '모든 x에 대하여 x²-1<5'의 부정을 구하시오.
정답 어떤 x에 대하여 x²-1≥5
풀이 ① 명제 '모든 x에 대하여 x²-1<5'의 부정을 구하는 문제입니다. ② '모든'의 부정은 '어떤'으로 바꿉니다. ③ 조건 x²-1<5의 부정은 부등호 '<'을(를) '≥'(으)로 바꾼 x²-1≥5입니다. ④ 따라서 답은 어떤 x에 대하여 x²-1≥5입니다.
3기본진리집합 구하기
전체집합 U={x | x는 14 이하의 자연수}에서 조건 p: x는 소수에 대하여 조건 p의 진리집합을 구하시오.
정답 {2, 3, 5, 7, 11, 13}
풀이 ① 전체집합은 U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}이고, 진리집합은 U의 원소 중 조건을 참이 되게 하는 원소들의 집합입니다. ② 조건 p: x는 소수를 만족하는 U의 원소를 찾으면 p의 진리집합 P={2, 3, 5, 7, 11, 13}입니다. ③ 따라서 답은 {2, 3, 5, 7, 11, 13}입니다.
풀이 ① x가 3의 배수인 집합을 P, 4의 배수인 집합을 Q라 하면 p→q가 참일 조건은 P⊂Q입니다. ② x=3은 3의 배수이지만 4의 배수가 아니므로 반례가 있어 P⊄Q입니다. ③ 반례가 하나라도 있으면 거짓이고, 포함 관계가 성립하면 참입니다. ④ 따라서 답은 거짓입니다.
5대표충분·필요조건이 되기 위한 미지수
두 조건 p: x²-ax-8=0, q: x²+2x-8=0에 대하여 p가 q이기 위한 충분조건이 되도록 하는 상수 a의 값을 구하시오.
정답 a=-2
풀이 ① p가 q이기 위한 충분조건이면 p의 해 집합이 q의 해 집합의 부분집합이어야 합니다. (P⊂Q) ② q: x2+2x-8=0 에서 (x-2)(x+4)=0 이므로 Q={2, -4}입니다. ③ p: x2-ax-8=0 의 근이 Q의 원소여야 하고 두 근의 곱이 -8이므로, 한 근이 2이면 다른 근은 -8÷2=-4입니다. ④ 근과 계수의 관계에서 a=2+(-4)=-2입니다. 따라서 답은 a=-2입니다.
6대표삼단논법과 참인 명제 찾기
3개의 조건 p, q, s에 대하여 두 명제 '~s→p', '~q→~s'가 모두 참일 때, 보기 중 반드시 참인 명제만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. ~q→~p ㄴ. ~p→s ㄷ. ~s→~q ㄹ. q→~s
정답 ㄴ
풀이 ① 명제 '~s→p', '~q→~s'가 참이면 그 대우도 참이므로, 주어진 명제들을 필요하면 대우로 바꿔 서로 이어 봅니다. ② 삼단논법(p→q, q→r이면 p→r)으로 연결하면 ~p→s→q이 참이고, 이것의 대우를 이은 ~q→~s→p도 참입니다. ③ 보기를 판단하면 ㄱ ~q→~p은 반드시 참이라 할 수 없음, ㄴ ~p→s은 참, ㄷ ~s→~q은 반드시 참이라 할 수 없음, ㄹ q→~s은 반드시 참이라 할 수 없음입니다. 이어지는 방향으로 연결되지 않는 명제는 역에 해당할 수 있고, 역은 참·거짓을 알 수 없습니다. ④ 반드시 참인 보기는 ㄴ이므로 따라서 답은 ㄴ입니다.
7대표'모든'·'어떤'이 있는 명제의 참 조건
어떤 실수 x에 대하여 x²-x+k<0이 참이 되도록 하는 실수 k의 값의 범위를 구하시오.
정답 k<1
풀이 ① 어떤 실수 x에 대하여 x2-x+k<0이 참이려면, 이차함수 y=x2-x+k의 최솟값이 0보다 작아야 합니다. ② 완전제곱식으로 고치면 x2-2x+k=(x-1)2+k-1이므로 최솟값은 k-1입니다. ③ k-1<0 이므로 k<1입니다. ④ 따라서 답은 k<1입니다.
8대표대우를 이용한 미지수
명제 'x²+ax-14≠0 이면 x≠-2'이 참일 때, 상수 a의 값을 구하시오.
정답 a=-5
풀이 ① 명제가 참이면 그 대우도 참이므로, 대우는 'x=-2이면 x²+ax-14=0'입니다. (가정과 결론을 바꾸고 각각 부정해야 합니다.) ② 대우가 참이므로 x=-2를 x²+ax-14=0에 대입하면 (-2)2+a×(-2)-14=0입니다. ③ 정리하면 4-2a-14=0 이므로 -2a=10입니다. ④ 양변을 (-2)로 나누면 a=10÷(-2)=-5입니다. 따라서 답은 a=-5입니다.
9대표산술평균과 기하평균의 관계(기본)
x>0일 때, x+22/x의 최솟값을 구하시오.
정답 2√22
풀이 ① x>0이므로 x와 22/x가 모두 양수여서 산술평균과 기하평균의 관계 a+b≥2√(ab)를 쓸 수 있습니다. ② x+22/x ≥ 2√(x×22/x) = 2√22 = 2√22 ③ 등호는 x=22/x, 즉 x2=22에서 x=√22(x>0)일 때 성립하므로 최솟값이 존재합니다. 따라서 답은 2√22입니다.
10대표명제가 참이 되는 미지수의 범위
두 조건 p: a-3≤x≤a+3, q: -5≤x≤3에 대하여 명제 p→q가 참이 되도록 하는 정수 a의 개수를 구하시오.
정답 3
풀이 ① 명제 p→q가 참이 되려면 p의 진리집합 P={x | a-3≤x≤a+3}가 q의 진리집합 Q={x | -5≤x≤3}의 부분집합이어야 합니다(P⊂Q). ② P가 Q에 포함되려면 P의 왼쪽 끝점은 Q의 왼쪽 끝점 이상, 오른쪽 끝점은 Q의 오른쪽 끝점 이하여야 하므로 a-3≥-5, a+3≤3입니다. ③ 각 부등식을 풀면 a≥-5+3=-2, a≤3-3=0입니다. ④ 끝점이 같아도 부분집합이 되므로 등호를 포함하여 -2≤a≤0입니다. ⑤ 정수 a는 -2부터 0까지이므로 0-(-2)+1=3(개)이고, 따라서 답은 3입니다.
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