고1 공통수학1 「행렬」 단원에서 시험에 나오는 유형으로 문제 10개를 골랐어요. 문제마다 정답 보기를 누르면 정답과 풀이가 나와요.
행렬 핵심 개념 정리
행렬은 수나 문자를 직사각형 모양으로 배열하고 괄호로 묶은 것으로, 가로줄을 행, 세로줄을 열이라 하며 m개의 행과 n개의 열로 이루어진 행렬을 m×n 행렬이라고 해요.
i행 j열에 있는 수를 (i, j) 성분이라 하고, 행의 수와 열의 수가 같은 행렬은 정사각행렬이라고 합니다.
두 행렬 A, B가 같으려면 꼴이 같고 대응하는 성분이 모두 같아야 해요.
덧셈·뺄셈은 꼴이 같은 행렬끼리 대응하는 성분을 더하거나 빼고, 실수배 kA는 모든 성분에 k를 곱해요.
곱셈은 A가 m×n 행렬, B가 n×l 행렬일 때만 가능하고, AB의 (i, j) 성분은 A의 i행과 B의 j열의 대응하는 성분끼리 곱해 더한 값이며 AB는 m×l 행렬이 됩니다.
자주 하는 실수는 곱셈에서도 AB=BA라고 생각하는 것인데, 일반적으로 AB≠BA이므로 (A+B)²=A²+2AB+B²도 AB=BA일 때만 성립해요.
예: A=(1 2; 3 4), B=(0 1; 1 0)이면 AB의 첫 행은 (1·0+2·1, 1·1+2·0)=(2, 1), 둘째 행은 (3·0+4·1, 3·1+4·0)=(4, 3)이에요.
거듭제곱은 A²=AA, A³=A²A처럼 정의하고, A², A³을 차례로 계산해 반복되는 규칙이나 주기를 찾으면 큰 거듭제곱도 구할 수 있어요.
오늘의 행렬 문제 10개
오늘(2026.11.10) 문제예요. 이 페이지의 문제는 하루에 한 번 새 숫자로 바뀌어요.
1기본두 행렬이 서로 같을 조건
(7 x+y / -5 2x-y)=(7 -5 / -5 2)일 때, 실수 x, y의 값을 구하시오.
정답 x=-1, y=-4
풀이 ① 두 행렬이 서로 같으려면 대응하는 성분이 각각 같아야 하므로, 문자가 들어 있지 않은 성분은 이미 같고 문자가 있는 두 성분으로 연립방정식 x+y=-5, 2x-y=2를 얻습니다. ② 두 식을 가감법(또는 대입법)으로 연립하여 풀면 x=-1, y=-4입니다. ③ 검산하면 (-1)+(-4)=-5, 2×(-1)-(-4)=2이므로 두 식을 모두 만족합니다. ④ 따라서 답은 x=-1, y=-4입니다.
2기본행렬의 곱셈
두 행렬 A=(4 24 4), B=(11)에 대하여 AB를 구하시오.
정답 (68)
풀이 ① AB의 (i, j) 성분은 A의 i행의 성분과 B의 j열의 성분을 차례로 곱해서 더한 값이며, 같은 자리 성분끼리만 곱하는 것이 아닙니다. AB는 2 행렬입니다. ② AB의 1행은 4 + 2 = 6입니다. ③ AB의 2행은 4 + 4 = 8입니다. ④ 따라서 답은 (68)입니다.
3기본행렬의 성분과 꼴
조건 aᵢⱼ=ij-1에 따라 정해지는 2×3 행렬 A의 a₂₃의 값을 구하시오.
정답 5
풀이 ① a₂₃는 2행 3열의 성분이므로 i=2, j=3입니다(행 번호가 i, 열 번호가 j). ② 규칙 aᵢⱼ=ij-1에 i=2, j=3을 대입하면 a₂₃=5입니다. ③ 따라서 답은 5입니다.
풀이 ① 먼저 A2=[[1,0],[-2,1]][[1,0],[-2,1]]=[[1,0],[-4,1]]이고, A3=A2A=[[1,0],[-4,1]][[1,0],[-2,1]]=[[1,0],[-6,1]]입니다. ② 계산 결과로부터 Ak=[[1,0],[k×(-2),1]]임을 알 수 있습니다. 이 행렬은 대각행렬이 아니므로 각 성분을 n제곱하면 안 됩니다. ③ k=3을 대입하면 A3=[[1,0],[3×(-2),1]]=[[1,0],[-6,1]]입니다. ④ 따라서 답은 [[1,0],[-6,1]]입니다.
6대표행렬에 대한 방정식
A=[[-3,0],[-4,-1]], B=[[-3,4],[2,3]]일 때, 행렬 X에 대한 방정식 3(X-A)=X+B를 만족시키는 행렬 X를 구하시오.
정답 [[-6,2],[-5,0]]
풀이 ① 3(X-A)=X+B의 좌변을 전개하면 3X-3A=X+B입니다. ② X를 좌변으로, 3A를 우변으로 옮기면 2X=3A+B입니다. ③ 3A+B=3×[[-3,0],[-4,-1]]+[[-3,4],[2,3]]=[[-12,4],[-10,0]]이므로 2X=[[-12,4],[-10,0]]입니다. ④ 양변을 2로 나누면 X=(12)×[[-12,4],[-10,0]]=[[-6,2],[-5,0]]입니다. ⑤ 따라서 답은 [[-6,2],[-5,0]]입니다.
7대표곱의 꼴과 곱셈 조건의 미지수
행렬 A는 4×3 행렬, B는 3×3 행렬이다. 곱 AB가 정의되면 그 결과 행렬의 꼴(m×n)을, 정의되지 않으면 '정의되지 않는다'라고 답하시오.
정답 4×3
풀이 ① (m×n 행렬)(n×p 행렬)처럼 앞 행렬의 열의 수와 뒤 행렬의 행의 수가 같을 때만 곱이 정의되고, 결과는 m×p 꼴입니다. ② A의 열의 수는 3, B의 행의 수는 3이므로 서로 같아 AB가 정의되고 결과는 4×3 꼴입니다. ③ 따라서 답은 4×3입니다.
8대표AB=BA가 되는 조건
A=[[-1,-3],[0,-2]], B=[[a,-6],[0,b]]에 대하여 AB=BA이고 a+b=-4일 때, 상수 a, b의 값을 구하시오.
정답 a=-1, b=-3
풀이 ① AB의 (1,2)성분은 (-1)×(-6)+(-3)×b, BA의 (1,2)성분은 a×(-3)+(-6)×(-2)입니다. ② AB=BA이므로 대응하는 성분이 같아야 하고, (-1)×(-6)-3b=-3a+(-6)×(-2)에서 -3(b-a)=(-6)×(-1)=6입니다. ③ 양변을 -3으로 나누면 b-a=-2이고, 조건 a+b=-4와 변끼리 더하면 2b=-6=-6이므로 b=-3입니다. ④ a=-4-(-3)=-1이므로 답은 a=-1, b=-3입니다.
9심화거듭제곱의 주기와 규칙
행렬 A=[[3, -5], [2, -3]]에 대하여 A130을 구하시오.
정답 [[-1, 0], [0, -1]]
풀이 ① 행렬의 거듭제곱은 처음으로 단위행렬 E가 되는 지수를 찾아 주기를 확인한 뒤 계산합니다. ② 거듭제곱을 차례로 구하면 A1=[[3, -5], [2, -3]], A2=[[-1, 0], [0, -1]], A3=[[-3, 5], [-2, 3]], A4=E입니다. ③ A4=E이므로 주기는 4이고, 130=4×32+2입니다. ④ A130=(A4)32×A2=E32×A2=A2=[[-1, 0], [0, -1]]입니다. ⑤ 따라서 답은 [[-1, 0], [0, -1]]입니다.
10심화곱셈공식이 성립할 조건
두 행렬 A=[[2, 0], [0, 3]], B=[[5, x], [y, 7]]에 대하여 (A+B)(A-B)=A²-B²이 성립할 때, 실수 x, y의 값을 구하시오.
정답 x=0, y=0
풀이 ① (A+B)²=A²+AB+BA+B², (A+B)(A-B)=A²-AB+BA-B² 이므로 (A+B)(A-B)=A²-B²이 성립하려면 AB=BA(교환법칙)이어야 합니다. ② AB=[[10, 2x], [3y, 21]], BA=[[10, 3x], [2y, 21]]입니다. ③ AB=BA에서 같은 위치의 성분을 비교하면 2x = 3x, 3y = 2y이므로 x=0, y=0입니다. 따라서 답은 x=0, y=0입니다.
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