중3 제곱근 문제 — 근호를 포함한 식의 계산과 분모의 유리화 학습지
중3 제곱근 문제는 규칙 몇 개로 정리되는데도 학생들이 유난히 오래 헤맵니다. 근호 안의 수를 밖으로 빼는 과정과 분모에 근호가 남는 상황을 처리하는 방법이 손에 붙지 않아서입니다. 이 페이지에서는 제곱근의 성질, 근호를 포함한 식의 곱셈과 나눗셈, 덧셈과 뺄셈, 분모의 유리화 유형을 새 숫자로 뽑아 인쇄할 수 있습니다.
‘학습지 새로 만들기’는 문제지 화면을 새 탭에서 엽니다(문항 수·정답지 포함 여부를 바꿀 수 있습니다). ‘PDF로 저장 / 인쇄’를 누르면 인쇄 창이 열리는데, 프린터 목록에서 ‘PDF로 저장’을 고르면 파일로 남길 수 있습니다. 정답지는 별지로 뒤에 붙습니다.
제곱근에서 학생이 막히는 지점
첫째, 근호 밖으로 빼는 감각이 없습니다. √48을 보고 48을 16×3으로 쪼개야 한다는 발상이 바로 나오지 않습니다. 제곱수를 찾아야 하므로 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100을 순간적으로 떠올릴 수 있어야 하는데, 이 목록이 머릿속에 없으면 매 문제마다 멈춥니다.
둘째, 덧셈과 곱셈의 규칙을 섞습니다. √2 × √3은 √6이 되지만 √2 + √3은 √5가 되지 않습니다. 곱셈과 나눗셈은 근호 안에서 처리되고, 덧셈과 뺄셈은 근호 안 수가 같을 때만 계수끼리 묶을 수 있습니다. 이 차이를 문장으로 정리해 두지 않으면 시험에서 반드시 한 문항을 잃습니다.
셋째, 분모의 유리화를 왜 하는지 모른 채 절차만 외웁니다. 분모와 분자에 같은 수를 곱해도 값이 변하지 않는다는 것, 그리고 √5 × √5 = 5로 근호가 사라진다는 것 두 가지가 근거입니다. 이유를 알면 (√3 + 1) 같은 분모를 만났을 때 무엇을 곱해야 할지도 스스로 찾아냅니다.
제곱근을 잡는 순서
규칙을 늘리기 전에 제곱수부터 몸에 붙입니다.
- 1단계 · 제곱수 외우기 — 1부터 20까지의 제곱을 소리 내어 확인합니다. 근호 밖으로 빼는 속도가 여기서 결정됩니다.
- 2단계 · 간단히 하기 — √48을 4√3으로 고치는 연습만 10문항. 근호 안에 제곱인 인수가 남아 있지 않은지 마지막에 확인합니다.
- 3단계 · 곱셈과 나눗셈 — 근호 안끼리 곱하고 나눕니다. 계산 후 다시 간단히 할 수 있는지 반드시 확인합니다.
- 4단계 · 덧셈·뺄셈과 유리화 — 근호 안 수를 같게 만든 뒤 계수끼리 계산합니다. 분모에 근호가 남으면 유리화까지 끝냅니다.
근호 계산 단계별 예시와 정답
| 단계 | 문제 예시 | 정답 | 이때 봐야 할 것 |
|---|---|---|---|
| 2단계 | √12를 간단히 하시오 | 2√3 | 제곱인 인수 4를 찾았는지 |
| 3단계 | √2 × √6 | 2√3 | 곱한 뒤 다시 간단히 했는지 |
| 4단계 | √18 - √8 | √2 | 근호 안 수를 같게 만든 뒤 뺐는지 |
| 4단계 | 3을 √5로 나눈 값을 유리화하기 | 3√5 ÷ 5 | 분모와 분자에 √5를 곱했는지 |
| 4단계 | (√3 + 1)(√3 - 1) | 2 | 곱셈 공식을 알아봤는지 |
제곱근에서 자주 나오는 실수 3가지
- 근호 안에서 덧셈을 해 버린다
√9 + √16을 √25로 계산해 5라고 답합니다. 실제로는 3 + 4 = 7입니다. 덧셈은 근호 안에서 이루어지지 않는다는 것을 이 예시 하나로 확인시키면 오래갑니다. - 간단히 하지 않은 채 답으로 낸다
√8을 그대로 두거나 √2 × √6을 √12에서 멈춥니다. 답을 쓰기 전에 '근호 안에 제곱수가 남았나'를 한 번 더 보는 습관을 만드세요. - 유리화 후 약분을 빠뜨린다
분모와 분자에 근호를 곱한 뒤 생긴 공약수를 그대로 둡니다. 유리화는 마지막 단계가 아니라 그다음에 약분까지 해야 끝난다는 점을 짚어 주세요.
하루에 얼마나 풀리면 될까
권장 분량은 하루 12문항, 시간으로는 20분 안팎입니다. 제곱근은 한 문제당 계산이 짧지만, 마지막에 간단히 하는 단계를 빠뜨리기 쉬워 검토 시간을 따로 두어야 합니다. 12문항을 풀고 3분 동안 답만 다시 훑는 습관을 붙이세요.
정답률이 사흘 연속 90%를 넘으면 유리화와 곱셈 공식이 섞인 유형으로 넘어가면 됩니다. 반대로 자꾸 틀린다면 2단계 '간단히 하기'만 8문항으로 며칠 반복하는 편이 회복이 빠릅니다.
학부모가 봐 줄 포인트
틀린 문제가 '계산을 못 해서'인지 '마지막 정리를 안 해서'인지 구분해 보세요. 중3 제곱근에서 실점의 상당수는 후자입니다. 정리 단계를 빠뜨린 것이라면 문제 양을 늘릴 필요가 없습니다.
아이에게 '√48을 왜 4√3으로 써?'라고 물어보세요. '48 안에 16이 있어서'라고 답하면 됩니다. '그렇게 배웠어요'라고 하면 제곱수 목록부터 다시 확인해야 합니다.
이 단원은 고등학교에서도 계속 쓰입니다. 3학년 내내 주 1회 정도 8문항씩 뽑아 감을 유지하면, 이차방정식의 근을 다룰 때 따로 시간을 들이지 않아도 됩니다.
자주 묻는 질문
- Q. 중3 제곱근 문제에 유리화도 포함되나요?
- 포함됩니다. 분모에 근호가 하나 있는 기본형부터 곱셈 공식을 이용하는 형태까지 근호를 포함한 식의 계산 단원 유형으로 들어 있습니다.
- Q. 제곱근의 대소 비교 문제도 있나요?
- 제곱근의 뜻과 성질 단원에 대소 비교 유형이 있습니다. 두 수를 각각 제곱해 비교하는 방법을 확인하는 문제가 나오므로 개념 점검용으로 쓸 수 있습니다.
- Q. 무리수와 실수 개념도 다루나요?
- 제곱근의 뜻과 성질 단원에서 함께 다룹니다. 근호를 포함한 식의 계산으로 넘어가기 전에 이 단원을 먼저 뽑아 풀어 보면 순서가 자연스럽습니다.
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최종 수정: 2026-09-13