중3 이차방정식 문제 — 인수분해 풀이부터 근의 공식까지 무료 학습지
중3 이차방정식 문제에서 점수가 갈리는 곳은 계산력이 아니라 판단입니다. 인수분해로 30초에 끝날 문제에 근의 공식을 대입해 3분을 쓰는 학생이 시험에서 시간이 모자란다고 말합니다. 이 페이지에서는 인수분해 풀이, 제곱근을 이용한 풀이, 완전제곱식 만들기, 근의 공식까지 새 숫자로 뽑아 인쇄할 수 있습니다.
‘학습지 새로 만들기’는 문제지 화면을 새 탭에서 엽니다(문항 수·정답지 포함 여부를 바꿀 수 있습니다). ‘PDF로 저장 / 인쇄’를 누르면 인쇄 창이 열리는데, 프린터 목록에서 ‘PDF로 저장’을 고르면 파일로 남길 수 있습니다. 정답지는 별지로 뒤에 붙습니다.
이차방정식에서 학생이 막히는 지점
첫째는 풀이 방법을 고르는 일입니다. 좌변이 인수분해되면 그것이 가장 빠르고, x² - 9 = 0처럼 x²만 있으면 제곱근을 바로 쓰면 됩니다. 근의 공식은 앞의 두 방법이 안 될 때 쓰는 마지막 수단입니다. 이 순서를 정해 두지 않으면 매 문제마다 공식을 꺼내게 되고, 계산 실수 확률도 함께 올라갑니다.
둘째는 AB = 0의 뜻입니다. (x-2)(x-3) = 0에서 x = 2 또는 x = 3이 되는 이유는 두 수의 곱이 0이면 적어도 하나가 0이기 때문입니다. 그런데 (x-2)(x-3) = 2 같은 식에서도 같은 방식을 써 버리는 학생이 있습니다. 우변이 0일 때만 성립한다는 조건을 놓친 것입니다.
셋째는 근이 하나뿐인 경우입니다. x² - 4x + 4 = 0은 (x-2)² = 0이라 x = 2 하나입니다. 답이 두 개여야 한다고 생각해 억지로 하나를 더 쓰거나, 반대로 두 근이 나왔는데 하나만 적는 실수도 자주 나옵니다.
이차방정식을 잡는 순서
푸는 방법을 고르는 기준을 먼저 세우고, 계산은 그다음입니다.
- 1단계 · 우변을 0으로 — 모든 항을 좌변으로 옮겨 정리합니다. 이 단계를 건너뛰면 어떤 방법도 쓸 수 없습니다.
- 2단계 · 인수분해가 되는지 보기 — 합과 곱으로 두 수를 찾을 수 있으면 인수분해로 끝냅니다. 10초 안에 안 보이면 다음 단계로 넘어갑니다.
- 3단계 · 제곱근 또는 완전제곱식 — x² = k 꼴이면 제곱근을 바로 씁니다. 그렇지 않으면 완전제곱식으로 고쳐 (x - p)² = q 형태를 만듭니다.
- 4단계 · 근의 공식 — 앞의 방법이 모두 막히면 계수를 공식에 넣습니다. 대입 전에 a, b, c를 따로 적어 두면 부호 실수가 줄어듭니다.
풀이 방법별 이차방정식 예시
| 단계 | 문제 예시 | 정답 | 이때 봐야 할 것 |
|---|---|---|---|
| 2단계 | x² - 5x + 6 = 0 | x = 2 또는 x = 3 | 합 5, 곱 6인 두 수를 찾았는지 |
| 2단계 | 2x² - 5x + 2 = 0 | x = 1/2 또는 x = 2 | 앞 계수가 있어도 인수분해했는지 |
| 3단계 | x² - 9 = 0 | x = 3 또는 x = -3 | 제곱근에 두 부호를 다 썼는지 |
| 3단계 | x² - 4x + 4 = 0 | x = 2 | 근이 하나임을 알아봤는지 |
| 4단계 | x² - 4x + 2 = 0 | x = 2 + √2 또는 x = 2 - √2 | 공식 대입 전 계수를 정리했는지 |
이차방정식에서 자주 나오는 실수 3가지
- 제곱근을 쓸 때 부호를 하나만 적는다
x² = 9에서 x = 3만 씁니다. 제곱해서 9가 되는 수는 3과 -3 두 개입니다. 제곱근 기호를 쓰는 순간 앞에 ± 를 먼저 적는 습관을 만드세요. - 우변이 0이 아닌데 곱셈꼴 성질을 쓴다
(x-1)(x-4) = 6을 보고 x = 1 또는 x = 4라고 답합니다. 전개해서 우변을 0으로 만든 뒤 다시 인수분해해야 합니다. 1단계를 고정하면 막을 수 있습니다. - 근의 공식에서 부호를 흘린다
b가 음수일 때 -b를 그대로 음수로 넣습니다. 대입하기 전에 a, b, c를 각각 부호까지 따로 적어 두면 확실히 줄어듭니다.
하루에 얼마나 풀리면 될까
하루 10문항에 25분이 기준입니다. 이차방정식은 한 문제에 여러 단계가 들어가 문항당 시간이 깁니다. 인수분해로 풀리는 문제와 공식이 필요한 문제를 섞어 뽑아야 방법을 고르는 훈련이 함께 됩니다.
시험 2주 전이라면 활용 문제를 하루 3문항 추가하세요. 넓이, 연속하는 수, 물체의 높이처럼 상황에서 식을 세우는 유형은 배점이 크고 부분 점수도 나옵니다. 이때 구한 근이 문제 상황에 맞는지 확인하는 단계를 빠뜨리지 않게 해야 합니다.
학부모가 봐 줄 포인트
아이가 어떤 방법으로 풀었는지 문제 옆에 표시하게 해 보세요. 인수분해, 제곱근, 공식 중 무엇을 썼는지 적게 하면 방법 선택이 눈에 보입니다. 전부 공식으로만 풀었다면 시간이 부족한 이유가 거기에 있습니다.
활용 문제에서 답이 두 개 나왔을 때 상황에 맞지 않는 근을 버렸는지 확인하세요. 길이나 개수를 묻는 문제에서 음수 근은 답이 될 수 없습니다. 이 확인 한 줄이 서술형 점수를 지킵니다.
이 단원이 안정되면 이차함수의 x절편이 곧 이차방정식의 근이라는 연결이 보입니다. 두 단원을 붙여 한 장으로 뽑아 풀리면 3학년 1학기 내용이 하나로 이어집니다.
자주 묻는 질문
- Q. 중3 이차방정식 문제에 근의 공식 유형도 있나요?
- 인수분해로 풀리지 않는 계수의 문제가 포함되어 있어 근의 공식을 쓰는 연습이 됩니다. 인수분해 유형과 섞여 나오므로 방법을 고르는 훈련까지 함께 할 수 있습니다.
- Q. 활용 문제도 뽑을 수 있나요?
- 넓이, 연속하는 수, 개수와 금액 같은 활용 유형이 단원 안에 들어 있습니다. 식을 세운 뒤 구한 근이 상황에 맞는지 확인하는 과정까지 연습하도록 구성되어 있습니다.
- Q. 인수분해가 약한데 바로 시작해도 되나요?
- 권하지 않습니다. 이차방정식 풀이의 절반 이상이 인수분해로 끝나기 때문에, 인수분해 12문항을 10분 안에 맞히는 수준이 된 뒤에 시작하는 편이 훨씬 빠릅니다.
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최종 수정: 2026-09-13