중3 인수분해 문제 — 공식 네 가지와 십자 곱셈까지 무료 학습지
중3 인수분해 문제는 고등학교로 넘어가는 다리입니다. 고등 과정은 인수분해가 손에 붙어 있다는 전제로 시작하기 때문에, 이 단원에서 멈칫하는 시간이 그대로 다음 해의 부담이 됩니다. 이 페이지에서는 공통인수 묶기, 완전제곱식, 합과 차의 곱, 두 수의 합과 곱을 찾는 유형까지 새 식으로 뽑아 인쇄할 수 있습니다.
‘학습지 새로 만들기’는 문제지 화면을 새 탭에서 엽니다(문항 수·정답지 포함 여부를 바꿀 수 있습니다). ‘PDF로 저장 / 인쇄’를 누르면 인쇄 창이 열리는데, 프린터 목록에서 ‘PDF로 저장’을 고르면 파일로 남길 수 있습니다. 정답지는 별지로 뒤에 붙습니다.
인수분해가 안 되는 진짜 이유
학생들은 공식을 모르는 것이 아닙니다. 어떤 공식을 써야 할지 고르지 못합니다. 식을 보고 항이 두 개인지 세 개인지, 부호가 어떻게 붙어 있는지, 공통인수가 있는지를 순서대로 확인하는 절차가 없기 때문입니다. 공식 네 개를 다 외운 학생이 x² - 16 앞에서 5초를 쓰는 장면이 흔합니다.
가장 먼저 봐야 할 것은 공통인수입니다. 2x² - 8을 보고 바로 합과 차의 곱을 떠올리는 학생은 2를 묶는 단계를 놓칩니다. 답이 2(x+2)(x-2)인데 (2x+4)(x-2) 같은 어정쩡한 꼴에서 멈춥니다. 공통인수를 먼저 빼는 순서만 지켜도 이런 실수가 사라집니다.
세 번째는 x² 앞에 계수가 붙는 경우입니다. 3x² + 7x + 2 같은 식에서 두 괄호의 앞자리에 무엇을 넣을지 시도해 보는 과정이 필요한데, 한 번 실패하면 포기해 버립니다. 곱해서 3이 되는 짝과 곱해서 2가 되는 짝을 표로 적어 놓고 대조하면 훨씬 빨리 찾습니다.
인수분해를 잡는 순서
공식을 외우는 순서가 아니라 식을 보는 순서를 만드는 것이 핵심입니다.
- 1단계 · 공통인수 먼저 — 모든 항에 공통으로 들어 있는 수나 문자를 밖으로 뺍니다. 무조건 첫 번째로 확인하는 단계입니다.
- 2단계 · 항이 두 개면 합과 차의 곱 — a² - b² 꼴인지 확인합니다. 부호가 빼기인지, 두 항이 모두 제곱 꼴인지 두 가지를 봅니다.
- 3단계 · 항이 세 개면 완전제곱식부터 — 가운데 항이 두 수 곱의 2배인지 확인합니다. 아니면 합과 곱이 맞는 두 수를 찾는 방식으로 넘어갑니다.
- 4단계 · x² 앞 계수가 있는 식 — 두 괄호의 앞자리 후보와 뒷자리 후보를 표로 적고 가운데 항이 맞는 조합을 고릅니다.
공식별 인수분해 예시와 정답
| 단계 | 문제 예시 | 정답 | 이때 봐야 할 것 |
|---|---|---|---|
| 1단계 | 2x² - 8 | 2(x + 2)(x - 2) | 공통인수 2를 먼저 뺐는지 |
| 2단계 | x² - 16 | (x + 4)(x - 4) | 두 항이 모두 제곱 꼴인지 봤는지 |
| 3단계 | x² + 6x + 9 | (x + 3)² | 가운데 항이 3의 2배인지 확인했는지 |
| 3단계 | x² + 5x + 6 | (x + 2)(x + 3) | 합 5, 곱 6인 두 수를 찾았는지 |
| 4단계 | 3x² + 7x + 2 | (3x + 1)(x + 2) | 앞자리와 뒷자리 조합을 대조했는지 |
인수분해에서 자주 나오는 실수 3가지
- 공통인수를 빼지 않고 공식부터 쓴다
2x² - 8을 (2x+4)(x-2)로 두고 끝냅니다. 답으로는 값이 같아 보여도 완전히 인수분해된 꼴이 아니라 감점입니다. 첫 단계에 공통인수 확인을 고정하세요. - 부호를 뒤집어 쓴다
x² - 5x + 6에서 (x+2)(x+3)이라고 씁니다. 곱이 양수이고 합이 음수면 두 수가 모두 음수여야 합니다. 곱의 부호로 두 수의 부호를 먼저 정하는 순서를 지키게 하세요. - 완전제곱식과 일반형을 구분하지 못한다
x² + 6x + 8을 (x+3)²에 가깝다고 여겨 헤맵니다. 가운데 항이 두 수 곱의 2배인지 한 번만 계산해 보면 바로 판별됩니다.
하루에 얼마나 풀리면 될까
기준은 하루 12문항, 20분입니다. 인수분해는 속도가 곧 실력인 단원이라 반복량이 필요하지만, 한 번에 30문항을 주면 손이 아니라 눈으로만 처리하게 됩니다. 12문항을 매일 하는 편이 훨씬 낫습니다.
정답률이 90%를 넘기 시작하면 시간을 재세요. 12문항을 10분 안에 다 맞히는 수준이 되면 이차방정식으로 넘어가도 좋습니다. 고등학교에서 요구하는 속도가 대략 이 정도입니다.
학부모가 봐 줄 포인트
아이가 식을 보고 몇 초 만에 손이 움직이는지 보세요. 5초 이상 멈춰 있다면 공식을 몰라서가 아니라 고르는 순서가 없기 때문입니다. 위의 4단계 순서를 종이에 적어 책상에 붙여 두는 것만으로 달라집니다.
틀린 문제는 다시 풀리기 전에 전개해서 확인하게 하세요. (x+2)(x+3)을 전개하면 원래 식이 나오는지 직접 곱해 보는 것이 가장 확실한 채점입니다. 이 습관이 붙으면 시험에서 스스로 검산합니다.
이 단원은 이차방정식과 이차함수의 도구입니다. 인수분해가 흔들리는 상태로 다음 단원에 들어가면 두 단원을 동시에 고쳐야 해서 시간이 배로 듭니다. 넘어가기 전에 속도를 한 번 확인해 주세요.
자주 묻는 질문
- Q. 중3 인수분해 문제에 십자 곱셈 유형도 있나요?
- x² 앞에 계수가 붙은 식을 두 괄호로 나누는 유형이 들어 있습니다. 앞자리와 뒷자리 조합을 대조해 가운데 항을 맞추는 방식이라 시험에 자주 나오는 형태 그대로입니다.
- Q. 다항식의 곱셈을 먼저 해야 하나요?
- 곱셈 공식을 먼저 익히는 편이 순서상 자연스럽습니다. 인수분해는 곱셈을 거꾸로 되돌리는 과정이라, 전개가 빠른 학생이 인수분해도 빠릅니다. 문제지에서 다항식의 곱셈 단원을 따로 고를 수 있습니다.
- Q. 복잡한 식을 치환해서 푸는 문제도 나오나요?
- 공통부분이 있는 식을 하나의 문자로 묶어 처리하는 유형이 포함되어 있습니다. 기본 공식 네 가지가 안정된 뒤에 도전하는 것이 좋습니다.
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최종 수정: 2026-09-13