고2·3 물리학Ⅱ의 「평면 운동」 단원은 물체가 평면 위에서 움직일 때의 운동을 다룹니다. 수평으로 던진 공의 운동, 등속 원운동과 구심력, 케플러 법칙과 만유인력에 따른 인공위성의 운동이 여기에 들어갑니다. 아래 시험지 20문항으로는 식을 세워 계산하는 힘과, 표의 측정값에서 관계를 읽어 내는 힘을 갖췄는지 확인합니다.
📝 평면 운동 시험지 — 20문항, 정답·해설은 뒤쪽 별지
이름
날짜
점수/100
배점 · 20문항 · 한 문항 5점 · 100점 만점 · 권장 풀이 시간 30분 · 기본·보통·심화가 섞여 나옵니다(정답·해설은 별지).
‘PDF 만들기’를 누르면 화면과 같은 문제로 A4 PDF 파일이 내려받아지고, 폰에서도 됩니다. 같은 학년·같은 과목 문제는 하루에 한 번 만들어지고, 그날은 같은 문제가 다시 나옵니다. 인쇄물 맨 위에 이름·날짜·점수 칸이 함께 찍힙니다.
원장 한마디
저는 수학을 가르치는 사람이지 물리학Ⅱ를 가르치는 사람이 아닙니다. 그래서 단원 내용은 건드리지 않고, 이 20문항 한 장을 집에서 어떻게 쓰면 좋을지만 말씀드립니다.
이 시험지는 식을 세워 계산하는 힘을 보는 쪽입니다. 식은 눈으로 훑어서는 늘지 않습니다. 풀이를 손으로 직접 쓰게 하십시오. 문제 수를 많이 푸는 것보다 한 문항을 제대로 쓰는 편이 낫다고 저는 봅니다.
다 푼 뒤에는 한 문항을 골라 어떻게 풀었는지 말로 설명하게 해 보세요. 옆에서 거들면 술술 말하는데 혼자서는 막힌다면 아직 자기 것이 아닌 겁니다. 틀린 번호는 고치고 끝내지 말고, 몇 주 지나 시험이 가까워졌을 때 그 번호만 다시 풀게 하십시오. 잊어버렸을 때 다시 푸는 쪽이 오래 남습니다.
— 수학의 신호 원장
평면 운동 단원에서 배우는 내용
수평으로 던진 공은 수평 방향 속도가 일정하고, 수직 방향으로는 중력 때문에 속도가 늘어납니다. 낙하 시간을 h=½gt²으로 먼저 구한 뒤 두 속도 성분을 √(수평²+수직²)로 합쳐 속력을 얻는 흐름이 문항에 나옵니다.
원운동에서는 구심력 F=mv²/r=mr(2π/T)²이 중심입니다. 이 개념은 위성 운동으로 이어집니다. 중력 가속도는 거리의 제곱에 반비례하고, 주기의 제곱은 긴반지름의 세제곱에 비례하며(제3법칙), 면적 속도는 일정합니다(제2법칙). 이 관계들이 한 줄로 연결됩니다.
시험지에서 뽑아 본 문제
물체가 반지름 r인 원형 궤도를 일정한 속력 v로 등속 원운동할 때 구심 가속도의 크기는 a이다. 속력은 v로 그대로 두고 반지름만 2r로 늘리면 구심 가속도의 크기는? ① 2a ② a/2 ③ 4a ④ a/4정답 · ② a/2 — 구심 가속도의 크기는 a = v²/r 이다. 속력이 같고 반지름이 2배가 되면 구심 가속도는 1/2배인 a/2가 된다.
질량 0.5 kg인 물체가 반지름 2 m인 원 궤도를 일정한 속력 4 m/s로 등속 원운동한다. 이 물체에 작용하는 구심력의 크기를 단위와 함께 쓰시오.정답 · 4 N — 구심력의 크기는 F = mv²/r 이다. F = 0.5 kg × (4 m/s)² ÷ 2 m = 4 N이다.
지구 중심에서 각각 r, 4r 떨어진 원궤도를 도는 인공위성 A, B가 있다. 공전 주기의 비 T_A : T_B는? (단, 두 위성에는 지구의 만유인력만 작용한다.) ① 1 : 2 ② 1 : 4 ③ 1 : 8 ④ 1 : 16정답 · ③ 1 : 8 — 만유인력이 구심력 역할을 하면 T² ∝ r³이므로 T ∝ r^(3/2)이다. 반지름비가 1 : 4이므로 주기비는 1 : 4^(3/2) = 1 : 8이다.
같은 행성 둘레를 각각 반지름 r, 4r인 원 궤도로 도는 인공위성 A, B에 대한 〈보기〉의 설명 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, 위성 사이의 만유인력은 무시한다.) 〈보기〉 ㄱ. 속력은 A가 B의 2배이다. ㄴ. 공전 주기는 B가 A의 8배이다. ㄷ. 가속도의 크기는 A가 B의 16배이다. ① ㄱ, ㄴ ② ㄴ, ㄷ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄱ, ㄴ, ㄷ정답 · ④ ㄱ, ㄴ, ㄷ — 원 궤도 위성에서 GMm/r²=mv²/r이므로 v∝r^(-1/2)이고, 속력 비 v_A:v_B=2:1이다(ㄱ). 주기는 T∝r^(3/2)이므로 T_B=8T_A(ㄴ), 가속도는 a=GM/r²∝r^(-2)이므로 a_A:
시험지는 같은 단원의 기본·보통·심화 문항을 섞어 20개로 냅니다. 위 문제는 그 가운데 몇 개를 옮겨 놓은 것입니다.
평면 운동에서 헷갈리기 쉬운 곳
제곱을 빠뜨리는 실수 측정값 문항에서 F는 T²에 반비례합니다. 주기가 1/2배가 되면 힘은 2배가 아니라 약 4배가 됩니다. 비례와 반비례만 보고 제곱을 놓치기 쉽습니다.
속도 성분을 더하는 실수 지면에 닿는 순간의 속력은 수직 속도 20 m/s만 쓰거나 15와 20을 그냥 더해서는 구해지지 않습니다. 두 성분이 직각이므로 제곱해 더한 뒤 근호를 씌웁니다.
거리의 기준과 힘의 방향 지표면 위 높이 R인 위성은 지구 중심에서 2R만큼 떨어져 있습니다. 높이를 그대로 거리로 쓰면 틀립니다. 만유인력은 타원의 중심이 아니라 초점인 태양을 향합니다.
평면 운동 시험지에 나오는 문항 모양
choice
short
선다형
선다
단답형
단답
집에서는 이런 순서로 해 보세요
먼저 식을 묶음별로 정리합니다. 수평 투사의 h=½gt², 구심력 F=mv²/r, 케플러 제2·제3법칙 순입니다. 하루 20~30분 정도로, 식마다 어떤 양이 어떤 양에 비례하거나 반비례하는지 말로 한 줄씩 적어 둡니다.
그다음 측정값이 표로 주어진 문항을 봅니다. 주기를 절반으로 줄였을 때 힘이 몇 배가 되는지 직접 비교해 관계를 정한 뒤 식과 맞춰 봅니다. 위성 문항은 계산 전에 지구 중심으로부터의 거리를 먼저 적는 습관을 들입니다.