이 단원은 전자가 입자이면서 동시에 파동처럼 행동한다는 물질의 이중성을 다루고, 그 응용으로 전자 현미경이 작은 구조를 구분하는 원리까지 이어집니다. 아래 20문항으로는 운동 에너지에 따른 물질파 파장의 변화, 이중 슬릿 무늬 간격의 계산, 전자를 한 개씩 보냈을 때 나타나는 결과의 해석을 이해했는지 확인합니다.
📝 물질의 이중성(전자 현미경) 시험지 — 20문항, 정답·해설은 뒤쪽 별지
이름
날짜
점수/100
배점 · 20문항 · 한 문항 5점 · 100점 만점 · 권장 풀이 시간 30분 · 기본·보통·심화가 섞여 나옵니다(정답·해설은 별지).
‘PDF 만들기’를 누르면 화면과 같은 문제로 A4 PDF 파일이 내려받아지고, 폰에서도 됩니다. 같은 학년·같은 과목 문제는 하루에 한 번 만들어지고, 그날은 같은 문제가 다시 나옵니다. 인쇄물 맨 위에 이름·날짜·점수 칸이 함께 찍힙니다.
원장 한마디
전자가 입자이면서 파동처럼도 행동한다는 이야기는, 읽기만 해서는 내 것이 되지 않는 단원이라고 봅니다. 저는 수학학원을 하는 사람이라 이 단원의 풀이를 짚어 드릴 수는 없습니다. 다만 시험지 한 장을 어떻게 쓰면 남는지는 말씀드릴 수 있습니다.
먼저 20문항은 아이 혼자 풀게 두세요. 옆에서 조금만 거들어 주면 술술 답하는데, 혼자 하라고 하면 막히는 경우가 많습니다. 그게 아직 자기 것이 아니라는 신호입니다.
푼 다음에는 화면에서 풀고 채점하기로 채점하고, 틀린 번호만 표시해 두세요. 그 번호는 바로 고쳐 풀게 하지 말고, 내용을 잊을 만한 몇 주 뒤 시험이 가까울 때 다시 풀게 하시기 바랍니다. 막힌 문항은 해설을 같이 읽는 쪽이 낫습니다.
— 수학의 신호 원장
시험지에서 뽑아 본 문제
전자 현미경이 광학 현미경보다 훨씬 작은 구조를 구별해 볼 수 있는 가장 적절한 까닭은? ① 가속된 전자의 물질파 파장이 가시광선의 파장보다 훨씬 짧기 때문이다. ② 전자의 전하량이 광자의 에너지보다 크기 때문이다. ③ 전자의 속력이 빛의 속력보다 빠르기 때문이다. ④ 전자는 시료를 전혀 투과하거나 반사하지 않기 때문이다.정답 · ① 가속된 전자의 물질파 파장이 가시광선의 파장보다 훨씬 짧기 때문이다. — 현미경의 분해능은 사용하는 파동의 파장이 짧을수록 좋아진다. 가속된 전자의 물질파 파장은 가시광선보다 수천 배 이상 짧아 더 작은 구조를 구별할 수 있다.
전자 이중 슬릿 실험에서 슬릿 간격 d = 2.5×10⁻⁷ m, 슬릿과 스크린 사이의 거리 L = 1.0 m이고, 전자의 물질파 파장은 5.0×10⁻¹¹ m이다. 스크린에 생기는 인접한 밝은 무늬 사이의 간격은 몇 mm인가? (단, 간격은 Δx = λL/d로 근사한다.)정답 · 0.20 mm — Δx = λL/d = (5.0×10⁻¹¹ × 1.0) / (2.5×10⁻⁷) = 2.0×10⁻⁴ m이다. 이는 0.20 mm이다.
전자 현미경 안에서 물질파 파장이 0.20 nm인 전자의 운동량의 크기는 얼마인가? (플랑크 상수 6.6×10⁻³⁴ J·s)정답 · 3.3×10⁻²⁴ kg·m/s — 물질파 파장은 λ=h/p이므로 p=h/λ이다. p=6.6×10⁻³⁴/(0.20×10⁻⁹)=3.3×10⁻²⁴ kg·m/s이다.
〈보기〉 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? 정지 상태에서 가속 전압 V로 가속된 전자의 물질파 파장은 λ이다. 같은 전자를 가속 전압 4V로 가속하여 같은 이중 슬릿에 입사시켰다. 〈보기〉 ㄱ. 전자의 운동량은 2배가 된다. ㄴ. 전자의 물질파 파장은 λ/2가 된다. ㄷ. 스크린에서 밝은 무늬 사이 간격은 2배가 된다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄴ, ㄷ ④ ㄱ, ㄴ, ㄷ정답 · ② ㄱ, ㄴ — 운동 에너지가 4배이면 p=√(2mE)에서 운동량은 2배이므로 ㄱ은 옳다. 파장 λ=h/p는 1/2배가 되고, 무늬 간격은 파장에 비례하여 1/2배가 되므로 ㄴ은 옳고 ㄷ은 틀리다.
시험지는 같은 단원의 기본·보통·심화 문항을 섞어 20개로 냅니다. 위 문제는 그 가운데 몇 개를 옮겨 놓은 것입니다.
물질파 파장과 전자 현미경
출발점은 전자의 물질파 파장입니다. 문항 해설은 λ = h/p, 곧 λ = h/√(2mE)로 풀이하므로, 운동 에너지가 커질수록 운동량이 커지고 파장은 짧아집니다. 에너지가 4배이면 파장은 1/2배, 9배이면 1/3배가 되는 식으로 제곱근 관계를 따릅니다.
이 파장은 두 곳에서 쓰입니다. 이중 슬릿에서는 무늬 간격 Δx = Lλ/d가 파장에 비례하고 슬릿 간격에 반비례합니다. 전자 현미경에서는 파장이 짧아질수록 분해능이 좋아져 더 작은 구조를 구분할 수 있습니다. 또 전자를 한 개씩 보내면 검출은 한 점으로 되지만 쌓이면 간섭무늬가 나타나, 입자성과 파동성이 함께 드러납니다.
물질의 이중성에서 헷갈리는 곳
에너지 배수와 파장 배수 에너지가 4배일 때 파장도 4배, 혹은 1/4배라고 착각하기 쉽습니다. 파장은 에너지의 제곱근에 반비례하므로 4배면 1/2배, 9배면 1/3배입니다.
파장과 슬릿 간격이 함께 바뀔 때 값이 두 개 바뀌면 파장 배수와 슬릿 간격 배수를 따로 구해 Δx = Lλ/d에 적용합니다. 에너지 4배, 슬릿 간격 d/2이면 (1/2)÷(1/2)=1배라서 3.0 mm가 그대로입니다.
한 개씩 보낼 때와 슬릿 검출 전자를 하나씩 보내도 쌓이면 줄무늬가 생기므로 전자끼리의 충돌이 원인이 아닙니다. 반대로 어느 슬릿을 지났는지 검출하면 간섭무늬가 사라지고 슬릿 뒤에 두 개의 띠가 쌓입니다.
물질의 이중성, 집에서 공부하는 순서
먼저 λ = h/√(2mE) 하나만 놓고, 에너지를 4배, 9배로 바꾸면 파장이 몇 배가 되는지 소리 내어 말해 보는 연습을 하루 10분 정도 합니다. 그다음 Δx = Lλ/d에서 무엇이 비례이고 무엇이 반비례인지 식 옆에 표시해 둡니다.
계산 문항은 바뀐 값마다 배수를 먼저 적고, 파장 배수는 곱하고 슬릿 간격 배수는 나누는 순서로 풉니다. 마지막으로 한 개씩 보내는 실험과 검출 장치 문항에서는 입자로 검출되는 것과 확률이 간섭을 따르는 것을 각각 한 문장으로 설명해 봅니다. 하루 20분에서 30분이면 됩니다.