풀이 ① 막대그래프에서 1회부터 5회까지 점수를 읽으면 11점, 12점, 9점, 14점, 14점입니다. ② 평균은 (점수의 총합) ÷ (시험 횟수)이므로 (11 + 12 + 9 + 14 + 14) ÷ 5 = 60 ÷ 5 = 12점입니다. ③ 점수를 크기순으로 늘어놓으면 9, 11, 12, 14, 14이고, 가운데에 있는 3번째 값이 중앙값이므로 12점입니다. ④ 가장 많이 나타난 점수가 최빈값인데, 14점이 2번 나타나므로 최빈값은 14점입니다. ⑤ 따라서 답은 평균 12점, 중앙값 12점, 최빈값 14점입니다.
3기본대푯값(평균·중앙값·최빈값) 구하기
다음은 학생 5명의 수학 수행평가 점수를 조사한 것이다. 15, 22, 17, 13, 13 (단위: 점) 이 자료의 평균을 구하시오.
정답 16점 ( (15+22+17+13+13)÷5 = 80÷5 = 16 )
풀이 ① 평균은 (자료값의 합)÷(자료의 개수)로 구합니다. ② 자료값을 모두 더하면 15+22+17+13+13 = 80입니다. ③ 자료의 개수는 5개이므로 평균은 80÷5 = 16입니다. ④ 따라서 답은 16점입니다.
4기본상자그림 읽기
위 상자그림은 어느 반 학생들의 키을(를) 나타낸 것이다. (단위: cm) 이 자료의 사분위범위을(를) 구하시오.
정답 10
풀이 ① 상자그림에서 왼쪽 끝부터 최솟값 155, 제1사분위수 160, 중앙값 165, 제3사분위수 170, 최댓값 180입니다. ② 범위 = 최댓값 - 최솟값, 사분위범위 = 제3사분위수 - 제1사분위수입니다. ③ 따라서 사분위범위은(는) 10입니다.
5기본편차를 이용하여 변량 구하기
어떤 자료의 변량 5개의 편차가 각각 2, x, -3, 1, -1 일 때, x의 값을 구하시오.
정답 x = 1 ( 편차의 총합은 0이므로 x = -(2+(-3)+1+(-1)) = -(-1) = 1 )
풀이 ① 편차의 총합은 항상 0이므로 2+x+-3+1+-1 의 합이 0이 됩니다. 즉 (2+(-3)+1+(-1))+x=0입니다. ② 주어진 편차 4개의 합을 구하면 2+(-3)+1+(-1) = -1입니다. ③ -1+x=0이므로 x = -(-1) = 1입니다. ④ 따라서 답은 x = 1입니다.
6기본분산과 표준편차 구하기
다음은 학생 5명의 하루 독서 시간을 조사한 것이다. 15, 13, 11, 14, 17 (단위: 분) 이 자료의 표준편차를 구하시오.
정답 2분 ( 평균 14분, 분산 = 20÷5 = 4, 표준편차 = √4 = 2 )
풀이 ① 평균을 구하면 (15+13+11+14+17)÷5 = 70÷5 = 14분입니다. ② 각 값에서 평균을 빼서 편차를 구하면 1, (-1), (-3), 0, 3입니다. ③ (편차)^2의 총합은 1^2+(-1)^2+(-3)^2+0^2+3^2 = 20이고, 분산은 20÷5 = 4입니다. ④ 표준편차는 분산의 양의 제곱근이므로 √4 = 2분입니다. ⑤ 따라서 답은 2분입니다.
7대표자료로 사분위수와 사분위범위 구하기
다음은 7개의 자료이다. 이 자료의 제3사분위수을(를) 구하시오. (단, 사분위수는 자료를 크기순으로 늘어놓았을 때 중앙값을 기준으로 나눈 아래쪽·위쪽 절반의 중앙값이고, 자료의 개수가 홀수이면 중앙값을 빼고 나눈다.) 55, 39, 48, 34, 27, 45, 20
정답 48
풀이 ① 크기순으로 늘어놓으면 20, 27, 34, 39, 45, 48, 55입니다. ② 중앙값은 39, 아래쪽 절반의 중앙값(제1사분위수)은 27, 위쪽 절반의 중앙값(제3사분위수)은 48입니다. ③ 따라서 제3사분위수은(는) 48입니다.
8대표막대그래프 자료의 변량 변환에 따른 평균·표준편차
위 막대그래프는 학생 A, B, C, D, E의 수행 평가 점수 x를 나타낸 것이다. 이 다섯 개의 변량 x에 대하여 새로운 변량 y = 2x + 2 로 점수를 환산할 때, 새로운 자료 y의 평균과 표준편차를 각각 구하시오.
정답 평균 26점, 표준편차 2√10점 (원래 자료의 평균 12점, 표준편차 √10점이므로 평균은 2×12 + 2, 표준편차는 2배)
풀이 ① 막대그래프에서 점수를 읽으면 15, 6, 13, 14, 12이므로 평균은 (15 + 6 + 13 + 14 + 12) ÷ 5 = 60 ÷ 5 = 12점입니다. ② 분산은 (15 - 12)^2 + (6 - 12)^2 + (13 - 12)^2 + (14 - 12)^2 + (12 - 12)^2 = 9 + 36 + 1 + 4 + 0 의 합을 5로 나눈 값이므로 10이고, 표준편차는 √10점입니다. ③ 평균은 변량을 똑같이 바꾸면 따라서 변하므로 y의 평균은 2×12 + 2 = 26점입니다. ④ 표준편차는 x의 계수의 절댓값만큼 배가 되고 더한 수는 영향을 주지 않으므로 2×√10 = 2√10점입니다. 따라서 답은 평균 26점, 표준편차 2√10점입니다.
9대표편차를이용한변량구하기
어느 모둠 학생 A, B, C, D, E의 과학 점수의 편차가 차례로 -7점, 3점, 7점, -4점, x점 이고, 이 모둠의 과학 점수의 평균이 70점이다. 이때 x의 값과 학생 E의 과학 점수를 구하고, 점수가 가장 높은 학생을 말하시오.
정답 x = 1, 학생 E의 점수 = 71점, 가장 높은 학생은 C(77점) [편차의 총합은 0이므로 (-7)+(3)+(7)+(-4)+x = 0, 즉 -1+x = 0에서 x = 1. (변량) = (평균)+(편차) = 70+(1) = 71점. 편차가 가장 큰 7점인 C의 점수가 70+(7) = 77점로 가장 높다.]
풀이 ① 편차의 총합은 0이므로 (-7)+(3)+(7)+(-4)+x = 0입니다. ② 따라서 -1+x = 0이므로 x = 1입니다. ③ (변량) = (평균)+(편차)이므로 학생 E의 과학 점수는 70+(1) = 71점입니다. ④ 편차가 가장 큰 학생은 편차가 7점인 C이고, 그 점수는 70+(7) = 77점입니다. 따라서 답은 x = 1, 학생 E의 점수 71점, 가장 높은 학생은 C(77점)입니다.
10대표평균과최빈값조건으로미지수구하기
어느 동아리 학생 5명의 한 학기 동안 관람한 영화의 수를 조사하여 차례로 나열한 것이다. 9, 10, 9, 3, x (편) 이 자료의 평균과 최빈값이 서로 같을 때, x의 값과 이 자료의 중앙값을 각각 구하시오. (단, x는 10, 3가 아닌 자연수)
정답 x = 14, 중앙값 = 9편 [최빈값은 두 번 나오는 9이므로 평균도 9이다. (2×9+10+3+x)÷5 = 9에서 31+x = 45, x = 14. 자료를 작은 값부터 나열하면 3, 9, 9, 10, 14이므로 중앙값은 세 번째 값인 9. (전체 합 45)]
풀이 ① 자료에서 9가 두 번 나오고 나머지는 한 번씩이므로 최빈값은 9편이고, 평균도 9편입니다. ② 평균이 9이므로 (2×9+10+3+x)÷5 = 9, 즉 31+x = 45입니다. ③ 따라서 x = 45-31 = 14입니다. ④ 자료를 작은 값부터 나열하면 3, 9, 9, 10, 14이고, 가운데 세 번째 값이 9편이므로 중앙값은 9편입니다. ⑤ 따라서 답은 x = 14, 중앙값 = 9편입니다.
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